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Organograma, Fluxograma e Cronograma

Em poucas palavras:


-Organogramas são usados para representar as relações hierárquicas de uma empresa.

-Fluxograma representa todas as etapas que compõem um processo baseadas no raciocínio lógico de execução para processos de fabricação, procedimentos operacionais etc.
-Cronogramas é a disposição gráfica do tempo que será gasto na realização de um trabalho ou projeto.


Elaborando um pouco mais:

O cronograma é um instrumento de planejamento e controle semelhante a um diagrama, em que são definidas e detalhadas minuciosamente as atividades a serem executadas durante um período estimado.

A nível gerencial, um cronograma é um artefato de controle importante para levantamento dos custos de um projeto e, a partir deste artefato, pode ser feita uma análise de viabilidade antes da aprovação final para a realização do projeto.

Organograma é um gráfico que representa a estrutura formal de uma organização.

Credita-se a criação dos primeiros organogramas ao norte-americano Daniel C. McCallum, administrador de ferrovias, no ano de 1856. 

Os organogramas mostram como estão dispostas unidades funcionais, a hierarquia e as relações de comunicação existentes entre estes.

Os órgãos ou departamentos são unidades administrativas com funções bem definidas. Exemplos de órgãos: Tesouraria, Departamento de Compras, Portaria, Biblioteca, Setor de Produção, Gerência Administrativa, Diretoria Técnica, Secretaria, etc. Os órgãos possuem um responsável, cujo cargo pode ser chefe, supervisor, gerente, coordenador, diretor, secretário, governador, presidente, etc. Normalmente tem colaboradores (funcionários) e espaço físico definido.

Num organograma, os órgãos são dispostos em níveis que representam a hierarquia existente entre eles. Em um organograma vertical, quanto mais alto estiver o órgão, maior a autoridade e a abrangência da atividade.

Tipos de organogramas

• Clássicos – O organograma clássico também é chamado de vertical. É o mais comum tipo de organograma, elaborado com retângulos que representam os órgãos e linhas que fazem a ligação hierárquica e de comunicação entre eles.

• Não clássicos – São todos os demais tipos como abaixo:

• Em barras – representados por intermédio de longos retângulos a partir de uma base vertical, onde o tamanho do retângulo é diretamente proporcional à importância da autoridade que o representa.

• Em setores (setorial, setograma) – são elaborados por meio de círculos concêntricos, os quais representam os diversos níveis de autoridade a partir do círculo central, onde localiza-se a autoridade maior da empresa.

• Radial (solar, circular) – o seu objetivo é mostrar o macrossistema das empresas componentes de um grande grupo empresarial.

• Lambda – apresentam, apenas, grupos de órgãos que possuam características comuns.

• Bandeira – apresentam grupos de órgãos que possuem uma missão específica e bem definida na estrutura organizacional, normalmente em quatro níveis.

• Organograma Linear de Responsabilidade (OLR) – possui um diferenciador em relação aos demais organogramas, pois a sua preocupação não é apresentar o posicionamento hierárquico, mas sim o inter-relacionamento entre diversas atividades e os responsáveis por cada uma delas.

• Informativo – apresenta um máximo de informações de diversas naturezas relacionadas com cada unidade organizacional da empresa.

Fluxograma é um tipo de diagrama, e pode ser entendido como uma representação esquemática de um processo, muitas vezes feito através de gráficos que ilustram de forma descomplicada a transição de informações entre os elementos que o compõem. Podemos entendê-lo, na prática, como a documentação dos passos necessários para a execução de um processo qualquer. É uma das Sete Ferramentas da Qualidade. Muito utilizada em fábricas e industrias para a organização de produtos e processos.
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Fontes:


- Instituto Universal Brasileiro: 
http://curso-auxiliar-administrativo.institutouniversal.com.br/EAD/curso_a_distancia.php?curso-CursodeAuxiliarAdministrativo-02-1069-618


- Blogando nas nuvens: http://daltondukarmo.wordpress.com/2008/06/28/gestao-da-qualidade-fluxograma-organograma-e-cronograma/

Vetores: módulo, direção e sentido

Nós que estudamos Física/Matemática cedo ou tarde topamos com os famosos vetores, e o que aprendemos aqui no Brasil é que tais entes matemáticos são definidos por 3 características indispensáveis, sendo elas: módulo, direção e sentido.

Você sabia que em Inglês tem algo dispensável aí no meio? É o sentido!

Afinal de contas, se eu tenho o módulo e a direção do vetor é dado pelo seu ângulo de inclinação, por que é que eu vou precisar indicar o sentido? O vetor aponta na direção dessa inclinação, então ele já está dado, não é mesmo?

Assim sendo, magnitude and direction é tudo que precisamos na língua Inglesa, e vai saber porque mudaram as coisas no Português.

Abraços!

VOCABULARY: novas palavras aprendidas em Inglês

Então pessoal, há palavras que às vezes a gente não sabe nem em Português, quem dera em outro idioma.

Estou estudando Física e Matemática em Inglês, e além de aprender as matérias em si, o ganho de vocabulário começa a ser significativo também. Eu acho isso super bacana, pois adoro o idioma e quanto mais eu conhecê-lo, mas mais eu sinto satisfeito.

Pois então, seguem as novas palavras aprendidas:

• sawhorse = cavalete
• hinge => dobradiça (de porta)
• turnstile => catraca (as rotatórias como as de estação de trem)
• velocity => vetor velocidade (módulo e direção)
• speed => módulo do vetor velocidade (apenas o módulo)
• right triangle => triângulo retângulo
• legs => catetos do triângulo retângulo (hipotenusa é hypotenuse)
• AC/DC => DC, o que chamamos de corrente contínua é direct current no Inglês, por isso DC e não CC
• numerical analysis => cálculo numérico
• momentum => momento ou quantidade de movimento (q = m x v)
• moment => momento de inércia

Uma nota importante é que, do meu aprendizado de Inglês, longe da Física, sempre soube que velocity e speed eram a mesma coisa, com a única diferença sendo a primeira usada em contextos mais formais, ao passo que speed era um termo mais corriqueiro, casual. Contudo, na Física, são coisas diferentes, velocity é um vetor, speed é apenas a magnitude/módulo desse vetor.

Outra coisa interessante é a tradução para o mesmo termo "momento" em Português, duas grandezas que são diferentes e que têm termos distintos em Inglês, momentum e moment. Momentum é um presente direto do Latin cujo plural é momenta, e na língua Inglesa tal palavra se manteve para descrever a quantidade de movimento dos objetos. Em Português, ao contrário, o estudante precisa tomar cuidado ou estar bem atento ao contexto para não cometer o erro de calcular uma coisa quando a outra é pedida, pois são grandezas de mesmo nome.

Conforme novas palavras forem surgindo, trarei mais vocabulário para todos.

Abraços!

O descompromisso do ser humano na internet

Acredito que eu não vá conseguir dormir sem esse desabafo aqui, então vamos adiante.

Também gostaria de mencionar que esse texto aqui não é uma indireta para alguém em particular, pois refere-se a um comportamento comum entre várias pessoas.

Antes de mais nada, gostaria de dizer o que me motivou a vir aqui escrever isso, uma mistura de um desabafo com uma análise crítica do porquê acredito que aconteça tal coisa. O fato intrigante é: ser ignorado pelas pessoas quando você as procura online, em comunidades como Facebook ou Orkut. Após vários meses em tentativas frustradas de comunicação com as pessoas, fui levado a me expressar através desta postagem.

Eu acho incrível a quantidade de pessoas, e na vasta maioria dos casos, brasileiros, que simplesmente deixam você na mão quando você se dirige a elas online, nem que seja para responder um simples “Olá, como vai?” A queixa não é porque isso acontece uma vez e eu fico intrigado, mas sim porque isso acontece diversas vezes, para uma mesma pessoa, às vezes fica-se dias ou semanas, e mesmo procurando as pessoas mais de uma vez neste período, elas não te respondem, e porque não querem. Isso fica evidenciado quando você vê, durante todos os dias em que aguarda uma resposta, as pessoas em questão ficam postando, muitas vezes, pura abobrinha para todos os lados nos murais de outras pessoas, ou seja, você sabe que elas estão online, ativas, dia após dia, então nem é possível engolir delas que não responderam por falta de tempo.

No meu ponto de vista, é mera questão de educação, se alguém dirige a palavra a você, você de alguma forma retornar a ela, mesmo que seja na manifestação de que não sente afinidade com tal pessoa e a preferiria deixá-la de lado, algo que não é possível adivinhar quando a única resposta que se recebe é o silêncio.

Há um princípio básico, dá até pra chamar de lei da natureza: aonde há uma pergunta, uma resposta é esperada. O quão impossível será entender isso? As pessoas se escondem, fingem não ver, ignoram, tratam a atenção que as pessoas as dirigem como algo sem importância, como se fosse um bocejo, aquela coisa que acontece, nós vemos, e ignoramos, por não ser absolutamente nada de importante.

O que às vezes chega a ser revoltante nestas situações é que quando você insiste em ir atrás das pessoas, elas se irritam, acham que você está sendo chato, enchendo o saco ou coisa do tipo. Expressam suas idéias como se elas estivessem corretas e você fosse um impertinente. Agora, quem está certo em uma situação como essa? Você vai atrás da pessoa, você demonstra se importar com ela (senão não iria atrás p@#$%), às vezes compartilha com ela assuntos do interesse delas, e é constantemente ignorado, às vezes por pessoas de relacionamento saudável quando diretamente, e no final, após tamanha demonstração de interesse pela pessoa você é transformado em vilão, é recebido com pedras na mão, será que isso é justo? Não seria mais fácil, se eu não significo nada no perfil de tal pessoa, porque não me remove e pára com tal palhaçada?

Hoje eu abordei superficialmente o assunto com uma pessoa muito querida, ela me disse que é normal se decepcionar com as pessoas quando você tem expectativas para com elas. Bom, ela não me disse novidade alguma, embora eu não tenha dito a ela que saber disso pra mim não justifica a falta de educação mínima das pessoas online.

Eu cheguei a comentar com ela uma vez, um teste que fiz no Orkut, eu passava no perfil de uma pessoa, inclusive uma com a qual tinha um bom relacionamento diretamente, e passava lá para cumprimentá-la e saber como ela estava (acho que tinha alguma coisa a mais no scrap). Eu lhe disse que a cada mensagem que mandava, ao lado, eu mandava um contador, algo parecido com “Olá, tudo bem?” [1]. Na segunda vez, obviamente o número seria [2], e assim por diante. Eu fazia isso ao longo de umas 2 semanas, obviamente não todos os dias para dar tempo das pessoas responderem, muitas vezes vendo que a pessoa estava online, participando em outros lugares, e não respondendo por falta de interesse mesmo. Quando chegava no [4], eu mandava um texto adicional, informando que aquela seria a última vez que a procuraria, e se tivesse uma quinta vez, iria aparecer apenas para informar que estaria removendo tal pessoa do perfil por um motivo muito simples: ser ignorado de forma constante!

Confesso que isso aconteceu foram 2 vezes, cheguei na quarta vez com 2 pessoas, e após o aviso (alguns vêem como ameaça) de que na próxima vez seriam excluídos do meu perfil, vinham chorosos dizendo “desculpa, andei muito ocupado...” e eu pensava comigo mesmo “vai mentir lá na caixa prego, pois tempo pra baboseira você tem”.

Ainda referente a esta querida amiga, quando lhe contei sobre os contadores, ela disse pra mim que isso era terrorismo da minha parte. Terrorismo? Ser ignorado pelas pessoas de forma constante e dizer isso a elas, informando o que é justo, remoção de perfil, pode ser encarado como terrorismo? As pessoas são um mar de descaso com você e ir atrás delas revelar isso deve ser tratado como terrorismo? O contador serve apenas para revelar o quão displicentes tais pessoas são. Ela chegou a dizer “se eu não quero responder uma pessoa, eu não respondo”, e muitos fazem isso, dando a idéia de que não há obrigação de fazer isso. Bom, obrigação é claro que não existe, mas será que não há algo errado nisso aí, deixar uma pessoa falando sozinha com constância? Qual seria o nome disso se fosse fora do Facebook? Eu vejo que responder as pessoas que nos procuram como mera questão de educação, salvo quando realmente não se tem tempo pra isso, será que alguém discorda disso?

Eu expliquei a ela que, comigo, quando tal coisa acontece, ser ignorado com frequência, eu sou automaticamente levado a pensar que há alguma coisa errada entre eu e a pessoa, ela deve estar com o pé atrás comigo por alguma razão, e o pior é que não fala comigo pra eu conferir se sim ou não.

Confesso que perdi a conta de quantas foram as coisas que enviei/compartilhei com ela e passei longe de ter o retorno esperado, muitas vezes sem retorno algum. Contudo, disse a ela que ela é a única pessoa que eu tolero isso no momento, por gostar muito dela, por saber que ela é bem ocupada, teve alguns problemas de internet em sua casa nas últimas semanas, tenho contato em pessoa com ela e sei que as coisas andam bem entre nós, e por último, por não enxergar ela como uma usuária assídua de internet, que faz usos dos recursos, por exemplo, que o Facebook oferece como são esperados, a citar o uso de mensagens privadas, pois aquilo não é canal de comunicação de uma via só. Acredito que talvez, talvez eu disse, ela entre no grupo em que eu classifico como o dos descompromissados da internet.

Eu gostaria muito que essas pessoas entendessem que elas não estão conversando com a internet, mas sim com pessoas. Gostaria que elas lembrassem que pessoas têm expectativas, quando elas falam, elas esperam alguma coisa de retorno, na vasta maioria dos casos. Quando há uma pergunta então, é mais do que óbvio que uma resposta é esperada. Seria bom que elas soubessem que há quem se fruste com tamanha falta de educação, ser ignorado com constância, coisa básica do ser humano. A exemplo do meu caso, como citei, se estes eventos acontecem com constância, e eu vejo que não é por falta de tempo pois há tempo suficiente para assuntos sem nexo em murais pra todo lado, eu sou automaticamente levado a pensar que há algo errado entre eu e a pessoa, isso me incomoda, e é do meu perfil ir atrás pra saber o que acontece para que seja resolvido, sem jamais permanecer na palhaçada de negligência constante.

O que eu enxergo como causa deste problema é o fato das pessoas, muitas delas, quando em uma comunidade de relacionamento por exemplo, serem totalmente descompromissadas para com qualquer assunto que seja sério ou formal, utilizando o ambiente como um refúgio longe de compromissos, podendo desfrutar de um lugar geralmente difícil de encontrar na vida real, uma “casa da mãe joana”. Estas pessoas não enxergam o Facebook como um site de relacionamentos, mas sim como um parquinho de diversões onde participam apenas dos brinquedos e das brincadeiras que lhes interessam, não estão lá pra se relacionar, se comunicar, mas pra se divertir com o que lhes interessam dependendo do tipo de dia que estão tendo.

As pessoas sentem-se à vontade pra dizer coisas do tipo “vou no banheiro”, “amor, eu te amo, volta logo”, “aí, eu estou tão triste hoje”, “acho que vou comprar um carro”, etc. etc. etc. juntamente de um monte de coisa inútil, expressões momentâneas de pessoas que não estão fazendo nada de importante e jogam isso no ar para ver com o que as outras pessoas complementam. Piadas para todos os lados, uma curtição enorme de fotos, frases prontas que são copiadas de um lado pro outro, sobre religião, amor, ser feliz, futebol, etc. etc.

Diante de um ambiente como esses, creio eu, a vasta maioria das pessoas sentem-se em um ambiente longe de formalismos e coisas sérias, havendo pouca apreciação quando tais manifestações ocorrem, e se passa a ocorrer com mais constância, você é visto como uma carta fora do baralho, uma pessoa chata, e outras coisas mais, só porque não entra no mesmo bonde da inutilidade da maioria.

O que eu canso de ver, no meu caso, é simples frases como “Olá, tudo bem?” sendo tratadas como porcaria nenhuma diante de diversas baboseiras sem sentido para as quais as pessoas encontram tempo. Este exemplo do “Olá, tudo bem?” é só um exemplo simplório, às vezes há muito mais conteúdo que isso. O que passa na cabeça de tal pessoa quando vê uma mensagem nova, lê, e larga pra lá? Será que é demais a minha atitude, sempre verificar quem se comunicou comigo e cuidar pra não deixar ninguém na mão, retornando a elas assim que possível? Será que eu estou fazendo demais? Eu sou o chato? Será que ter atenção para com você (você mesmo) é crime? Ah, é mesmo, o nome disso é compromisso, responsabilidade para com as pessoas, mas o Facebook e a internet não é lugar pra isso não é mesmo? Você que afirma que sim o faz apenas porque você não é vítima disso... Eu jamais me esqueço que estou me relacionando com pessoas, reais, elas são como eu, e merecem atenção devida.

A internet e tais comunidades tornaram-se um excelente meio de comunicação para aquelas pessoas com as quais a vida tratou de separar, um meio de manter amizades ativas quando a distância prevalece. Aí fica no ar, se não há comunicação com tais pessoas nem pela internet, com ambas adicionadas no perfil de cada uma, como manter um relacionamento? O Facebook seria uma comunidade de relacionamento ou um parque de baboseiras? Eu enxergo que sim, é para as pessoas não se perderem de vista, incitar a comunicação, manter amizades e etc. pois afinal, estamos lidando com gente, o que é que muda com relação a vida fora da internet? Eu continuo sendo o mesmo dentro e fora do Facebook, falo na comunidade online de coisas reais, então porque receber tratamento diferenciado quando em um local e quando no outro, e pior, oriundos da mesma pessoa? Tem nexo isso?

No meu ponto de vista, a grande noção de descompromisso na internet faz com que as pessoas lá compromissadas passem por situações como a minha, e não, não vejo ser demais da minha parte cuidar para que a sua mensagem, a de seu amigo, e de outras pessoas, não sejam jogadas no lixo, especialmente se você importa pra mim. Se eu te procuro, bato nesta tecla contigo, tenha a certeza que é porque me importo contigo, senão teria largado mão de ti de uma vez. É muito ruim tentar fazer tudo isso por você e ser tratado como vilão da história, um cara chato, por fazer o quê? Por te procurar e mostrar que você tem valor...

O interessante é que não passo por tal problema com constância com os meus contatos do exterior. Eu mantenho amizades há anos por email e tais comunidades, lugares como China, Tailândia, Polônia, etc. e não costumo ver esta falta de compromisso com as pessoas... será que é coisa de brasileiro mesmo?

Alguém poderia pensar “meu, você esquenta demais com essas coisas...”, aí eu falo “tá vendo como você não tem compromisso com as pessoas ou não vê isso como importante?”; outro “eu não vou ficar esquentando minha cabeça com Facebook que nem ele”, e eu retorno “eu não estou esquentando com o Facebook, eu estou é dando atenção pra você que não enxerga isso”; "você leva Facebook muito a sério!", e eu digo "errado, pois o que eu levo a sério são as pessoas, ou será que você não merece"?

Eu jamais vou pensar que dar a atenção que você merece seja um erro da minha parte, pois o erro talvez seja esperar a mesma atitude de um monte de pessoas que não compartilham da mesma linha de pensamento que a minha. Contudo, lembre-se, um dia pode ser você a vítima, de repente é até alguém que você gosta que venha a te tratar com o silêncio, alguém com a qual você gostaria muito de conversar, a internet seria o meio mais viável, porém... quem sabe a partir daí você não comece a pensar mais nos outros.

Por último, uma preocupação minha, exatamente com a estimada amiga que citei acima. Nossa comunicação verbal vai muito bem, embora ela não ocorra tantas vezes como eu gostaria. A partir do ano que vem, acontecerão algumas mudanças em sua vida que tendem a afastá-la de mim, diminuindo e muito a comunicação verbal que é muito boa. Aí eu pergunto, se a comunicação via internet é extremamente ruim, não há retorno de praticamente nada que se comunica, como manter contato, ter as agradáveis e produtivas conversas, manter a chama da amizade acessa nos momentos onde a distância impera? Sinceramente, se fosse hoje, pela lógica, estaria tudo no limbo, não teria mais contato com ela nem em pessoa (salvo alguma ocasião excepcional) e nem pela internet, sendo o telefone um recurso um pouco limitado também. Aí eu pergunto? É demais da minha parte se preocupar com isso? Se fosse com você, seria demais dirigir esse nível de atenção à pessoa estimada? Eu curto demais ela, é uma pessoa um pouco diferenciada da maioria que conheço, consigo ter conversas que geralmente são difíceis de abordar com a maioria das pessoas, eu me importo com ela e não gostaria de perder isso. Claro, estou apenas fazendo a minha parte, isso é o típico do exemplo onde os dois têm que “mover seus pauzinhos” para não se perder o que se conquistou de valor, estou tentando garantir a minha parte, e isso inclui sim a utilização da internet, e por que não, o Facebook? Acho uma pena que hoje a utilização da internet por ela seja tão ineficaz, neste sentido, para mantermos contato, e de repente conversar até as coisas que não dá tempo de abordar em pessoa. Apesar de tudo, eu entendo, ela provavelmente não vê e não enxerga o uso de internet como meio de comunicação da mesma forma que eu, assim como muitas pessoas, então isso faz com que eu prossiga me questionando sobre como será o amanhã entre nós...

Não sei quantos se identificam com a minha situação, passam por algo similar, etc. Isso acontece comigo com várias pessoas, inclusive com aquelas com as quais meu relacionamento é muito bem em pessoa. Felizmente, ainda há um bom número que se comunica devidamente comigo (mostrando um mínimo de educação para com a atenção que lhes é dirigida). Seria interessante ver outras opiniões sobre o descaso das pessoas na internet, pois duvido que isso ocorra apenas comigo. A postura que as pessoas assumem online pode ser um assunto pra muita discussão, para quem estiver disposto, independente do meu caso em particular, há um total descaso, muito desdém, só porque não se está diante das pessoas, cara-a-cara.

Vejo que a web veio forte para a nossa vida, e veio pra ficar. Será que fazemos o correto uso delas para nos comunicarmos com as pessoas que importam pra nós, seja no lado pessoal ou profissional?

A vida segue, vou tentar não esquentar tanto com isso (sempre esquento quando as pessoas envolvidas importam pra mim), e vamos adiante.

Abraços!

Numerical Analysis (Newton's Method)

Introduction

Newton's method is a technique for finding the root of a scalar-valued function f(x) of a single variable x. It has rapid convergence properties but requires that model information providing the derivative exists.

Background

Useful background for this topic includes:

• 3. Iteration
• 7. Taylor series

References

• Bradie, Section 2.4, Newton's Method, p.95.
• Mathews, Section 2.4, Newton-Raphson and Secant Methods, p.70.
• Weisstein, http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html.

Theory

Assumptions

Newton's method is based on the assumption that functions with continuous derivatives look like straight lines when you zoom in closely enough to the functions. This is demonstrated here.

We will assume that f(x) is a scalar-valued function of a single variable x and that f(x) has a continuous derivative f⁽¹⁾(x) which we can compute.

Derivation

Suppose we have an approximation x_a to a root r of f(x), that is, f(r) = 0. Figure 1 shows a function with a root and an approximation to that root.

Figure 1. A function f(x), a root r, and an approximation to that root x_a.

Because f(x) has a continuous derivative, it follows that at any point on the curve of f(x), if we examine it closely enough, that it will look like a straight line. If this is the case, why not approximate the function at (x_a, f(x_a)) by a straight line which is tangent T_xa to the curve at that point? This is shown in Figure 2.

Figure 2. The line tangent to the point (x_a, f(x_a)).

The formula for this line may be deduced quite easily: the linear polynomial f⁽¹⁾(x_a) ⋅ (x - x_a) is zero at x_a and has a slope of f⁽¹⁾(x_a), and therefore, if we add f(x_a), it will be tangent to the given point on the curve, that is, the linear polynomial

is the tangent line. Because the tangent line is a good approximation to the function, it follows that the root of the tangent line should be a better approximation to the root than x_a, and solving for the root of the tangent is straight-forward:

HOWTO

Problem

Given a function of one variable, f(x), find a value r (called a root) such that f(r) = 0.

Assumptions

We will assume that the function f(x) is continuous and has a continuous derivative.

Tools

We will use sampling, the derivative, and iteration. Information about the derivative is derived from the model. We use Taylor series for error analysis.

Initial Requirements

We have an initial approximation x₀ of the root.

Iteration Process

Given the approximation x_n, the next approximation x_{n + 1} is defined to be

Halting Conditions

There are three conditions which may cause the iteration process to halt:

1. We halt if both of the following conditions are met:
   • The step between successive iterates is sufficiently small, |x_n + 1 - x_n| < ε_step, and
   • The function evaluated at the point x_{n + 1} is sufficiently small, |f(x_n + 1)| < ε_abs.
2. If the derivative f⁽¹⁾(x_n) = 0, the iteration process fails (division-by-zero) and we halt.
3. If we have iterated some maximum number of times, say N, and have not met Condition 1, we halt and indicate that a solution was not found.

If we halt due to Condition 1, we state that x_{n + 1} is our approximation to the root.

If we halt due to either Condition 2 or 3, we may either choose a different initial approximation x₀, or state that a solution may not exist.

Error Analysis

Given that we are using Newton's method to approximate a root of the function f(x).

Suppose we have an approximation of the root x_n which has an error of (r - x_n). What is the error of the next approximationx_{n + 1} found after one iteration of Newton's method?

Suppose r is the actual root of f(x). Then from the Taylor series, we have that:

where ξ ∈ [r, x_n]. Note, however, that f(r) = 0, so if we set the left-hand side to zero and divide both sides by f⁽¹⁾(x_n), we get:

We can bring the first two terms to the left-hand side and multiple each side by -1. For the next step, I will group two of the terms on the terms on the left-hand side:

Note that the object in the parentheses on the left-hand side is, by definition, x_{n + 1} (after all, x_{n + 1} = x_n - f(x_n)/f⁽¹⁾(x_n) ), and thus we have:

But the left hand side is the error of x_{n + 1}, and therefore we see that error is reduced by a scalar multiple of the square of the previous error.

To demonstrate this, let us find the root of f(x) = e^x - 2 starting with x₀ = 1. We note that the 1st and 2nd derivatives of f(x) are equal, so we will approximate ½ f⁽²⁾(ξ)/f⁽¹⁾(x_n) by ½. Table 1 shows the Newton iterates, their absolute errors, and the approximation of the error based on the square previous error.

Table 1. Newton iterates in finding a root of f(x) = e^x - 2.

n	xn	errn = ln(2) - xn	½ errn - 12
0	1.0	-3.069 ⋅ 10-1	N/A
1	0.735758882342885	-4.261 ⋅ 10-2	-4.708 ⋅ 10-2
2	0.694042299918915	-8.951 ⋅ 10-4	-9.079 ⋅ 10-4
3	0.693147581059771	-4.005 ⋅ 10-7	-4.006 ⋅ 10-7
4	0.693147180560025	-8.016 ⋅ 10-14	-8.020 ⋅ 10-14

Note that the error at the nth step is very closely approximated by the error of the (n - 1)th step. Now, in reality, we do not know what the actual error is (otherwise, we wouldn't be using Newton's method, would we?) but this reassures us that, under reasonable conditions, Newton's method will converge very quickly.

Failure of Newton's Method

The above formula suggests that there are three situations where Newton's method may not converge quickly:

1. Our approximation is far away from the actual root,
2. The 2nd derivative is very large, or
3. The derivative at x_n is close to zero.

Examples

Example 1

As an example of Newton's method, suppose we wish to find a root of the function f(x) = cos(x) + 2 sin(x) + x². A closed form solution for x does not exist so we must use a numerical technique. We will use x₀ = 0 as our initial approximation. We will let the two values ε_step = 0.001 and ε_abs = 0.001 and we will halt after a maximum of N = 100 iterations.

From calculus, we know that the derivative of the given function is f⁽¹⁾(x) = -sin(x) + 2 cos(x) + 2x.

We will use four decimal digit arithmetic to find a solution and the resulting iteration is shown in Table 1.

Table 1. Newton's method applied to f(x) = cos(x) + 2 sin(x) + x².

n	xn	xn + 1	|f(xn + 1)|	|xn + 1 - xn|
0	0.0	-0.5000	0.1688	0.5000
1	-0.5000	-0.6368	0.0205	0.1368
2	-0.6368	-0.6589	0.0008000	0.02210
3	-0.6589	-0.6598	0.0006	0.0009

Thus, with the last step, both halting conditions are met, and therefore, after four iterations, our approximation to the root is -0.6598 .

Questions

Question 1

Find a root of the function f(x) = e^-x cos(x) starting with x₀ = 1.3 . The terminating conditions are given by ε_abs = 1e-5 and ε_step = 1e-5.

Answer: 1.57079632679490 after five iterations.

Question 2

Perform three steps of Newton's method for the function f(x) = x² - 2 starting with x₀ = 1. Use a calculator for the third step.

Answer: 3/2, 17/12, 577/408 ≈ 1.414215686274510

Applications to Engineering

Consider the circuit, consisting of a voltage source, a resistor, and a diode, shown in Figure 1.

Suppose we wish to find the current running through this circuit. To do so, we can use Kirchhoff's voltage law (KVL) which says that the sum of the voltages around a loop is zero. For this, we need the model of diode which states that the relationship between the current and the voltage across a diode is given by the equation

Solving this equation for the voltage v and using values I_S = 8.3e-10 A, V_T = 0.7 V, and n = 2, we get from KVL that

This equation cannot be solved exactly for the current with any of the tools available in an undergraduate program (it requires the use of the Lambert W function). Therefore we must resort to using numerical methods:

Defining the left hand side of the equation to be v(i), we have to solve v(i) = 0 for i, and we will continue iterating until ε_step< 1e-10 and ε_abs < 1e-5.Table 1. Newton's method applied to v(i).

n	in	in + 1	|v(in + 1)|	|in + 1 - in|
0	0.0	2.964283918e-10	0.0724	2.96e-10
1	2.964283918e-10	3.547336588e-10	1.81e-3	5.83e-11
2	3.547336588-10	3.562680160-10	1.17e-5	1.53e-12
3	3.562680160e-10	3.562690102e-10	2.63e-9	9.94e-16

Therefore, the current is approximately 3.562690102e-10 A.

Matlab

Finding a root of f(x) = cos(x):

eps_step = 1e-5;
eps_abs = 1e-5;
N = 100;
x = 0.2;

for i=1:N
    xn = x - cos(x)/( -sin(x) );

    if abs( x - xn ) < eps_step && abs( cos( xn ) ) < eps_abs
       break;
    elseif i == N
       error( 'Newton\'s method did not converge' );
    end

    x = xn;
end

xn
        

What happens if you start with smaller values of x? Why?

Maple

The following commands in Maple:

with( Student[Calculus1] ):
NewtonsMethod( cos(x), x = 0.5, output = plot, iterations = 5 );

produces the plot in Figure 1: 

For more help on Newton's method or on the Student[Calculus1] package, enter:

?NewtonsMethod

?Student , Calculus1