Relação entre determinante de matriz e o resultado da discussão de suas equações lineares

Esta postagem é mais um lembrete importante.

Para quem não se lembra, discutir um sistema linear (um conjunto formado por equações lineares que pode ser expresso na forma de matriz) significa classificá-lo da seguinte maneira:

- Compatível (ou Possível)
    - Determinado => formado por uma solução única
    - Indeterminado => formado por infinitas soluções

- Incompatível (ou Impossível) => não tem solução

O resultado classificatório acima está diretamente ligado com o determinante da matriz formada pelas equações lineares, o que é o foco desta postagem. A relação é a seguinte:

- Det ≠ 0 => Sistema Compatível e Determinado
- Det = 0
    - Se o determinante de algumas das incógnitas for diferente de 0, o sistema é Impossível
    - Se todos os determinantes da incógnitas forem nulos, o sistema, se tiver solução, será indeterminado

Um último lembrete importante é:

As colunas (ou linhas) de um sistema linear (podendo ser expresso na forma de matriz) podem também ser tratados como vetores, os vetores colunas (ou linhas). Tais vetores podem ou não ser linearmente independentes entre si. Apenas relembrando, vetores linearmente independentes formam uma base, uma base com a qual é possível escrever vetores através da combinação linear de seus vetores componentes. Um exemplo claro disso é o tradicional eixo cartesiano com 2 eixos (ou 3 ou mais). Os vetores unitários das posições x, y e z, ou seja, i, j e k, podem ser combinados para expressar qualquer vetor nesta base, sendo a base a expressão das componentes dos vetores em questão.

A determinação de um conjunto de vetores como sendo linearmente dependentes ou independentes está também ligado aos determinantes, da seguinte maneira:

- Det = 0 => dependência linear
- Det ≠ 0 => independência linear

Assim sendo, ao tratar um conjunto de vetores matricialmente e calculando o respectivo determinante, é possível saber se os vetores envolvidos formam uma base para a geração de outros vetores, assim como saber a natureza do sistema linear correspondente, o resultado de sua discussão.

Abraços!